一、基础识别：伸缩类型与因子判断
指出下列函数是 \( y = f(x) \) 经过怎样的伸缩变换得到的（说明垂直/水平、伸缩因子、是否反射）：
a. \( y = 3f(x) \)
解答：
垂直伸缩，伸缩因子为3（伸长3倍），无反射。
分析：常数3在函数外部，是垂直伸缩。
b. \( y = f(4x) \)
解答：
水平伸缩，伸缩因子为 \( \frac{1}{4} \)（压缩为原长的 \( \frac{1}{4} \)），无反射。
分析：常数4在x内部，是水平伸缩，水平伸缩因子是 \( \frac{1}{4} \)。
c. \( y = -2f(x) \)
解答：
垂直伸缩，伸缩因子为2（伸长2倍），伴随x轴反射。
分析：负号表示同时有反射效果。
d. \( y = f(-\frac{1}{3}x) \)
解答：
水平伸缩，伸缩因子为3（伸长3倍），伴随y轴反射。
分析：负号在x内部，表示水平伸缩伴随y轴反射。
二、画图练习：二次函数的伸缩
已知 \( f(x) = x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 \)（顶点在 \( (1, 0) \) 的抛物线）：
a. 画出 \( y = f(x) \) 的图像
解答：
顶点在(1,0)，开口向上，最小值为0。
与x轴交点：x=1（二重根）。
图像：标准的开口向上的抛物线，顶点在(1,0)。
b. 画出 \( y = 2f(x) \) 的图像，对比顶点位置与开口宽窄
解答：
垂直伸长2倍，顶点仍在(1,0)，但最小值变为0。
开口更窄（比原函数陡峭）。
对比：原函数最小值0，新函数最小值0，但开口更窄。
c. 画出 \( y = f(2x) \) 的图像，分析与x轴的交点及图像宽窄变化
解答：
水平压缩为 \( \frac{1}{2} \)，顶点变为(0.5,0)。
与x轴交点变为x=0.5（二重根）。
图像变窄（比原函数更紧凑）。
变化：交点x坐标减半，图像整体压缩。
三、拓展练习：反比例函数的伸缩与渐近线
已知 \( f(x) = \frac{1}{x} \)（渐近线为 \( x = 0 \) 和 \( y = 0 \)）：
a. 画出 \( y = 3f(x) = \frac{3}{x} \) 的图像，说明渐近线与曲线的伸缩关系
解答：
垂直伸长3倍，渐近线仍是x=0、y=0。
曲线在第一、三象限更陡峭，离原点更远。
伸缩关系：垂直伸缩只影响曲线陡峭程度，不改变渐近线位置。
b. 画出 \( y = f(3x) = \frac{1}{3x} \) 的图像，分析水平伸缩对渐近线与曲线形态的影响
解答：
水平压缩为 \( \frac{1}{3} \)，渐近线仍是x=0、y=0。
曲线在第一、三象限更紧凑，增长更快。
影响：水平伸缩改变曲线在x方向的分布，但渐近线位置不变。
四、综合应用：伸缩后图像的交点
设 \( f(x) = x(x - 3) \)，函数 \( y = 2f(x) \) 与 \( y = f(2x) \)：
a. 分别写出 \( y = 2f(x) \) 和 \( y = f(2x) \) 的表达式
解答：
\( y = 2f(x) = 2x(x - 3) = 2x^2 - 6x \)
\( y = f(2x) = 2x(2x - 3) = 4x^2 - 6x \)
b. 求两函数图像的交点坐标
解答：
联立方程：\( 2x^2 - 6x = 4x^2 - 6x \)
化简：0 = 2x^2，x = 0
代入：y = 2(0)(0 - 3) = 0
交点：(0, 0)
分析：两个函数在x=0处相等，形成交点。
五、综合应用练习
1. 分析 \( y = -f(3x) \) 的变换过程
解答：
先水平压缩为 \( \frac{1}{3} \)，再垂直反射（关于x轴）。
等价于水平伸缩因子 \( \frac{1}{3} \)，垂直伸缩因子-1。
2. 判断 \( y = \frac{1}{2}f(x) + 1 \) 是哪种复合变换
解答：
先垂直伸缩为 \( \frac{1}{2} \)，再垂直平移上移1个单位。
注意：伸缩和平移可以复合，但顺序不同结果不同。